엔진 회전수를 바퀴 속도로 바꾸는 기어처럼 — 인아워 방정식이 반응도를 주기로 바꾸는 법

운전을 해보신 분이라면 기어(변속기)가 하는 일을 감으로 아실 거예요. 엔진은 계속 같은 방식으로 돌아가지만, 그 회전수를 그대로 바퀴에 전달하면 저속에서는 힘이 부족하고 고속에서는 엔진이 미친 듯이 비명을 지르겠죠. 그래서 기어박스가 중간에 끼어들어 "엔진 회전수(입력)"를 "바퀴 속도(출력)"로 적당히 바꿔줍니다. 1단 기어에서는 엔진이 조금만 돌아도 바퀴는 천천히, 5단 기어에서는 엔진 회전 대비 바퀴가 훨씬 빨리 돕니다. 한 마디로 기어는 "입력을 출력으로 바꿔주는 변환표"인 셈이죠.

원자로에도 이것과 아주 비슷한 역할을 하는 수식이 하나 있습니다. 바로 인아워 방정식(in-hour equation)입니다. 이 방정식은 "반응도(reactivity)"라는 입력값을 "원자로 주기(reactor period)"라는 출력값으로 바꿔주는, 말하자면 원자로 버전의 변속기 환산표입니다. 다만 미리 말씀드리자면, 이 변환은 자동차 기어처럼 고정된 비율로 매끈하게 이뤄지지 않습니다. 어느 지점을 넘어가면 아주 살짝만 손을 대도 결과가 걷잡을 수 없이 튀어버리거든요. 오늘은 그 이야기를 해보려 합니다.

반응도를 넣으면 주기가 나오는 상자

먼저 두 입출력 값부터 짚고 갈게요. 반응도(ρ)는 원자로가 임계 상태(중성자가 태어나는 만큼 정확히 사라지는 균형 상태)에서 얼마나 벗어나 있는지를 나타내는 값입니다. 그리고 원자로 주기(T)는 앞서 다룬 것처럼, 출력이 e배(약 2.718배)로 늘어나는 데 걸리는 시간입니다. 반응도는 "지금 노심에 얼마나 여유(혹은 초과분)가 있는가"를 말해주는 값이고, 주기는 "그 결과 출력이 실제로 얼마나 빠르게 변하는가"를 말해주는 값이라고 생각하시면 됩니다.

문제는 이 둘이 그냥 따로 노는 값이 아니라는 거예요. 반응도가 정해지면 그에 대응하는 주기도 (원자로가 한동안 그 반응도를 유지한다는 전제하에) 딱 하나로 정해집니다. 이 둘을 이어주는 계산식이 바로 인아워 방정식입니다. 기호로 쓰면 이런 모양입니다.

ρ = Λω + Σ [ βi · ω / (ω + λi) ] (i는 지발중성자 그룹 번호)

겁먹지 않으셔도 됩니다. 오른쪽 항들이 뭘 뜻하는지만 짚으면 어렵지 않아요. ω(오메가)는 주기 T의 역수(ω=1/T)로, "출력이 얼마나 빨리 e배가 되는가"를 나타내는 값입니다. Λ(람다)는 앞서 다룬 중성자 세대시간, βi와 λi는 핵분열 생성물 중 극히 일부가 시간차를 두고 내놓는 지발중성자 각 그룹의 비율과 붕괴 속도입니다. 실제로는 이런 그룹이 6개 있어서 시그마(Σ) 기호로 6개 항을 다 더한 것이 정확한 형태인데, 여기서 핵심은 딱 하나만 기억하시면 됩니다. "입력 반응도 하나를 넣으면, 이 식이 그에 대응하는 출력 주기 하나를 계산해 낸다"는 것이요. 정확히는 그 반대 방향(주기를 넣으면 반응도가 나오는 방향)으로 이 식을 유도하고, 이를 뒤집어 반응도를 넣으면 주기가 나오게 쓰는 것인데, 어느 쪽으로 읽어도 상관없습니다. 변속기가 엔진 회전수를 알면 바퀴 속도를 계산할 수 있고, 반대로 바퀴 속도를 보고 지금 몇 단 기어인지 역으로 짐작할 수 있는 것과 같은 이치입니다.

실제로 발전소에서는 이 관계를 양방향으로 다 씁니다. 설계 단계에서는 "이만큼 반응도를 넣으면 출력이 얼마나 빠르게 늘어날까"를 미리 계산해 안전 여유를 확인하고, 반대로 실제 운전 중에는 계측기로 관측된 주기(출력이 실제로 e배가 되는 데 걸린 시간)를 거꾸로 인아워 방정식에 대입해 "지금 노심에 반응도가 얼마나 들어와 있나"를 역산하는 데에도 씁니다.

이름은 "인아워"인데 왜 요즘은 달러로 얘기할까

그런데 이름이 좀 특이하죠. "인아워(in-hour)"라니, 시간이랑 관련 있어 보이는데 정확히 뭘까요. 사실 이 이름은 1940년대, 원자로 물리학이 걸음마를 떼던 시절에 붙은 역사적인 흔적입니다. 당시 연구자들은 반응도를 나타내는 단위 하나를 이렇게 정의했습니다. "원자로를 정확히 1시간(3600초) 주기로 만드는 반응도, 그게 1 인아워(1 ih)다." 즉 이 방정식에 ω=1/3600을 넣어서 나오는 반응도 값 하나를 "1 인아워"라는 눈금으로 정한 거죠. 이름 자체가 "그 시절 표준 단위였던 인아워를 계산해 주는 방정식"이라는 뜻에서 나온 겁니다.

재밌는 건, 표준적인 지발중성자 데이터와 대표적인 세대시간(약 50마이크로초)을 가지고 실제로 계산해 보면 1 인아워는 대략 2.35pcm, 달러 단위로는 0.0036달러 정도밖에 안 되는 아주 작은 반응도라는 겁니다. 1시간이라는, 사람 입장에서는 "거의 정지해 있는 것처럼 느긋한" 변화 속도조차 반응도로 따지면 이렇게 미세한 값이라는 뜻이니, 원자로가 반응도 변화에 얼마나 민감한 물건인지 짐작이 가시죠.

다만 요즘 현장에서는 인아워 단위를 실제로 쓰는 일은 거의 없습니다. 대신 앞서 다룬 달러·센트 단위나 pcm, % 같은 표기를 훨씬 많이 씁니다. "인아워 방정식"이라는 이름표만 역사의 흔적으로 남아있을 뿐, 이 방정식 자체는 어떤 반응도 단위를 넣든 똑같이 성립합니다. 마치 옛날에 만든 도구의 이름이 지금도 그대로 쓰이지만, 정작 그 도구는 예전 방식이 아니라 요즘 방식으로 쓰이는 것과 비슷하다고 할까요.

천천히 휘어지는 구간과 갑자기 튀는 구간

자, 이제 이 글에서 가장 중요한 이야기를 해볼게요. 앞서 자동차 기어는 같은 단수 안에서는 "회전수가 2배 되면 속도도 2배" 하는 식으로 대체로 선형적입니다. 그런데 인아워 방정식이 그려내는 반응도-주기 관계는 그렇지 않습니다. 대표적인 열중성자로 데이터(U-235 기준 표준 지발중성자 그룹값, 세대시간 약 50마이크로초)로 실제 계산한 값 몇 개를 표로 볼까요.

원자로 주기 T	반응도 ρ (달러, $1=즉발임계)
1000초	약 0.01달러
100초	약 0.10달러
30초	약 0.23달러
10초	약 0.40달러
3초	약 0.62달러
1초	약 0.80달러
0.5초	약 0.89달러
0.2초	약 0.98달러
0.1초	약 1.04달러
0.02초	약 1.38달러

이 표를 찬찬히 보면 두 가지 서로 다른 구간이 눈에 들어옵니다.

반응도가 작을 때(대략 0.3달러 이하)는 반응도가 늘어나는 만큼 주기도 매끄럽게 짧아지긴 하는데, 이게 "직선"은 아닙니다. 반응도가 0.01달러에서 0.10달러로 10배 늘 때 주기는 1000초에서 100초로 10분의 1이 됩니다. 그런데 0.10달러에서 0.40달러로 4배만 늘어도 주기는 100초에서 10초로 똑같이 10분의 1이 되죠. "반응도를 몇 배 늘렸으니 주기도 그만큼 짧아지겠지" 하는 단순 비례식은 성립하지 않는다는 겁니다. 대신 반비례에 가까운 곡선(쌍곡선 모양)을 그립니다. 그나마 이 구간이 이렇게 완만하게, 사람이 따라갈 수 있는 초 단위로 늘어지는 이유는 앞서 다룬 지발중성자 선행핵들 덕분입니다. 반감기가 초에서 수십 초에 이르는 이 "느림보" 중성자들이 반응 속도를 사람 손으로 다룰 수 있는 영역까지 늦춰주고 있는 거죠.

그런데 반응도가 즉발임계, 즉 1달러에 가까워지면 이야기가 완전히 달라집니다. 표를 다시 보세요. 반응도가 0.89달러에서 0.98달러, 1.04달러로 아주 조금씩만 늘어나는데도 주기는 0.5초에서 0.2초, 0.1초로 급격하게 곤두박질칩니다. 왜 이런 일이 생길까요? 반응도가 1달러를 넘어서는 순간부터는(이른바 즉발초임계) 지발중성자의 "지연 효과"가 더 이상 반응 속도를 붙잡아주지 못하고, 반응 속도의 주도권이 세대시간(마이크로초 단위로 짧은 값)으로 넘어가 버리기 때문입니다. 지발중성자라는 브레이크가 슬슬 풀리기 시작하는 구간이라고 보시면 됩니다.

이걸 다시 기어 비유로 돌아가서 표현하면 이렇습니다. 낮은 반응도 구간에서는 기어가 그럭저럭 예상 가능한 비율로 부드럽게 변속되는 느낌이라면, 1달러 근처는 마치 변속기가 갑자기 헐거워져서 페달을 살짝만 밟아도 엔진 회전수가 통제 불가능하게 치솟아 버리는 상황과 비슷합니다. 자동차라면 고장이라고 부를 상황이지만, 원자로 물리에서는 이게 지발중성자와 즉발중성자의 역할이 뒤바뀌는 지점에서 나타나는 지극히 정상적인(그리고 잘 알려진) 수학적 결과입니다. 그래서 원자로 설계와 운전은 애초에 이 "헐거워지는 지점"에 다가가지 않도록, 반응도를 항상 1달러로부터 충분히 떨어뜨려 유지하는 방향으로 짜여 있습니다.

그래서 이 방정식이 왜 중요한가

정리하면 인아워 방정식은 원자로 물리에서 "반응도"라는 눈에 잘 안 보이는 조작 변수를, "주기"라는 실제로 관측되고 체감되는 시간 단위로 바꿔주는 환산 장치입니다. 이 환산 관계를 알고 있으면, 설계자는 "이 정도 반응도를 넣었을 때 출력이 얼마나 빨리 늘어날지"를 미리 계산해 안전 여유를 확보할 수 있고, 운전원은 반대로 "지금 관측되는 주기로 미루어 봤을 때 노심에 반응도가 얼마나 들어와 있는지"를 실시간으로 가늠할 수 있습니다.

그리고 이 방정식이 알려주는 가장 중요한 교훈은 "이 변환이 절대 균일한 기어비가 아니다"라는 사실입니다. 반응도가 작을 때는 그런대로 완만하게 반응하다가, 즉발임계에 가까워질수록 아주 작은 변화에도 결과가 걷잡을 수 없이 튀어 버립니다. 그래서 원자로 설계·운전 철학은 항상 이 문턱(1달러)으로부터 충분한 거리를 두는 데 초점이 맞춰져 있습니다. 반응도를 다룰 때 "지금 얼마나 넣었는가"뿐 아니라 "즉발임계까지 얼마나 남았는가"를 함께 신경 써야 하는 이유가 바로 이 곡선의 모양 안에 들어있는 셈이죠.

오늘의 한 줄 정리

• 인아워 방정식은 반응도(ρ)와 원자로 주기(T, 또는 그 역수 ω=1/T)를 서로 변환해 주는 관계식이다
• "인아워"라는 이름은 1940년대 반응도의 역사적 단위(1시간 주기에 대응하는 반응도)에서 유래했으며, 오늘날은 달러·pcm 등 다른 단위로 이 방정식을 쓰는 경우가 대부분이다
• 이 변환은 자동차 기어처럼 고정된 비율이 아니라 비선형이다. 반응도가 작을 때는 완만한 반비례 곡선을, 즉발임계(1달러)에 가까워질수록 아주 작은 변화에도 주기가 급격히 짧아지는 형태를 보인다
• 이 비선형성(특히 1달러 근처의 급격한 변화) 때문에 원자로 설계·운전은 항상 반응도를 즉발임계로부터 충분히 떨어뜨려 유지하도록 설계되어 있다

다음에는 이 변환식 안에 숨어 있던 "느림보" 지발중성자들이 실제로 몇 개의 그룹으로 나뉘고, 각각 어떤 역할을 하는지 조금 더 들여다보겠습니다.